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対数(たいすう、)とは、任意の数をある定数の冪(べき)の形に表したときの冪(べき)指数のことである。対数はもともと計算の便法として考え出されたものであるが、現在においては計算機の発達によって計算の便法としての重要性は薄れ、その対応関係を関数として捉えなおした対数関数を指すのが専らである。

具体的には、ある定数 a を考えて底(てい)と呼び、任意の数 x が底 a の冪 x = a^p と表されるときの冪指数 p を、“x の底 a に対する対数”と呼んで p = log_a?x で表す。ここで、p を x の関数と見なしたものは“(a を底とする)対数関数”と呼ばれる。対数関数は初等関数の一種で、指数関数の逆関数となっている。また、逆に x をその対数 p から見たとき、x は“p の底 a に対する真数”と呼ばれる。

◆ 定義

一般には複素数で定義されるが、その解説は自然対数の項目にゆずる。

◇ 指数関数を用いた定義

正の実数 a ≠ 1 をとると、 任意の正の実数 xに対し

:$x=a^p\backslash ,$

を満たす 実数 p が唯一つ定まる。この p を

:$p=\backslash log\_a\; x\backslash ,$

と書き、p のことを a を底(てい、base)とする x の対数という。このとき x のことを真数(しんすう、anti-logarithm)という。この対数の定義は、オイラーによる。(1728年)

◇ 演算法則からの定義

正の実数 a ≠ 1 をとる。正の実数 x を変数にとる実数値連続関数 $f(x)$が

:$f(xy)=f(x)+f(y)\backslash ,$

:$f(a)=1\backslash ,$

を満たすとき

:$f(x)=\backslash log\_x\backslash ,$

と書き、$f(x)$ のことを$a$ を底とする対数関数という。

◇ 特殊な底

1 以外の正の実数であれば底に何を用いてもよいが、分野によって慣例的によく用いられる底があり、底が省略されることも多い。

:$\backslash log\; x\backslash ,$

のように底が省略されている場合は、前後の文脈や扱われている分野によって底が何か判断される。

底を a = 10 とした対数は常用対数 (common logarithm) あるいはブリッグスの対数 (Briggsian logarithms) と呼ばれ、実験などの測定値に用いることが多い。他の対数と区別するために "Log" などのように大文字を用いることがある。ヘンリー・ブリッグス () は、1617年に 1000 未満の整数について8桁、1624年には1〜2万と9万〜10万の整数についての14桁の常用対数表を出版した。

底を a = e(ネイピア数) とした対数を自然対数 (natural logarithm) あるいはネイピアの対数 (Napierian logarithm) という。名前に用いられているもののジョン・ネイピア自身とは関係ない。微積分などの計算が簡単になるため、数学などの理論分野で用いられることが多い。他の対数と区別するために "ln" という記号を用いることがある。

底を a = 2 とした対数 (binary logarithm) は、情報理論の分野で情報量などを表現するのに用いられることが多い。他の対数と区別するために "lg" という記号を用いることがある。

◇ 古典的な定義

正の実数 x に対して

:$x\; =\; 10^7\; \backslash left(1-\backslash right)^p$

を満たす実数 p が唯一つ定まる。この p のことを ネイピアの対数 (Napierian logarithm) という。ネイピアは、1594年に対数の概念に到達し、この定義を用い 20年間計算を続け 7桁の数の対数表を作成し1614年に発表した。

正の実数 x に対して

:$x\; =\; 10^8\; \backslash left(1+\backslash right)^p$

を満たす実数 p が唯一つ定まる。この p のことをビュルギの対数という。ビュルギは、ネイピアよりも早い1588年に対数の概念を発見したが、1620年まで公表しなかったため、対数の発見者としてはネイピアが称えられることが多い。

◆ 対数の性質

a, b は 1 ではない正の実数、x, y は正の実数、p は実数、ln x は自然対数を表すとする。

◇ 基本的な演算

定義により

:$a^=\; x$

真数の積は、対数の和に変換される。逆に(底が同じ)対数の和は、真数の積に変換される。

:$\backslash log\_(xy)=\backslash log\_x+\backslash log\_y$

真数の指数は、対数の定数倍に変換される。

:$\backslash log\_a\; x^p\; =\; p\; \backslash \; \backslash log\_a\; x$

真数の逆数は、対数の符号を反転させる。

:$\backslash log\_a=\; \backslash log\_a\; x^=\; -\backslash log\_a\; x$

真数の商は、対数の差になる。逆に(底が同じ)対数の差は、真数の商に変換される。

:$\backslash log\_a=\; \backslash log\_a\; \backslash left(x\; \backslash cdot\backslash right)\; =\; \backslash log\_a\; x\; -\backslash log\_a\; y$

底を a から b へ取り替えたいときは

:$\backslash left(\backslash log\_a\; x\backslash right)\; \backslash left(\backslash log\_b\; a\backslash right)\; =\; \backslash log\_b\; a^=\; \backslash log\_b\; x$

より

:$\backslash log\_a\; x\; =$

となる。これを底の変換という。正の実数 x が 1 でないならば、b = x とすることにより

:$\backslash log\_a\; x\; =$

底の逆数は、対数の符号を反転させる。

:

◇ 対数の値の大きさに関する性質

底の値によらず、真数が 1 のとき対数は 0 である。

:$\backslash log\_1=0\backslash ,$

1 < a の時、対数は狭義単調増加

:

:$\backslash lim\_\backslash log\_a\; x=\; -\backslash infty$

:$\backslash lim\_\backslash log\_a\; x=\; +\backslash infty$

0 < a < 1 の時、対数は狭義単調減少

:

:$\backslash lim\_\backslash log\_a\; x=\; +\backslash infty$

:$\backslash lim\_\backslash log\_a\; x=\; -\backslash infty$

対数の発散はとても緩やかであり p > 0 に対して

:$\backslash lim\_=\; 0$

◇ 解析学における公式

微分に関する公式

: $\backslash ln\; x\; =$

: $\backslash log\_a\; x\; ==$

:

積分に関する公式(以下の不定積分において C は積分定数とする)

:$\backslash intdx\; =\; \backslash ln\; |x|\; +\; C$

:$\backslash int\; \backslash ln\; x\; dx\; =\; x\; \backslash ln\; x\; -x\; +\; C$

:$\backslash int\; \backslash log\_a\; x\; dx\; =+C\; =\; x\; \backslash log\_a\; x\; -x\; \backslash log\_a\; e\; +\; C\; =\; x\; \backslash log\_a\; \backslash left(\backslash right)\; +C$

◆ 余対数

対数の符号を変えた

:$-\backslash log\_a\; x$ すなわち $\backslash log\_a$

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