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算術(さんじゅつ、arithmetic)は、数の概念や数の演算を扱い、その性質や計算規則、あるいは計算法などの論理的手続きをあきらかにしようとする学問分野である。非常に古くは数学全般を表した。

現代日本では、おもに数学教育の小学校における部分(教科名としては、1940年代以降では算数と称される)として学ばれるもののことを指す。その大部分は、四則演算(加減乗除、加法(足し算)・減法(引き算)・乗法(掛け算)・除法(割り算))の習熟に当てられる。

またこの言葉、とくに "Arithmetic" は、時によっては数論を指し示すこともある。

◆ 四則演算

算術における加算 (+)・減算 (-)・乗算 (×)・除算 (÷) の 4 つの二項演算のことをあわせて、算術の四則(しそく)あるいは四則演算と称する。自然数の間に定義される四則演算のうち、減算と除算には大きな制約があり、これを解消する操作を通じて整数や有理数(とくに正の分数)にまで数の範囲を広げて四則演算を考えることができるようになる。

四則演算を特徴付ける性質には、交換法則・結合法則・分配法則などがあり、抽象代数学では四則演算が自由にできる集合のことを体という。有理数の全体、実数の全体、複素数の全体などは全て体である。

除算は乗算の逆の演算になっている;a × b = c ならば、a = c /b, b = c /a が成り立つ。a × b = 1 となるような b を a の逆数といい、1/a と表す。

減算についても、a + b = c ならば a = c - b, b = c - a であるから、× が + に、/ が - に置き代わっただけで上の式と全く同じことが起こっている。つまり、減算は加算の逆の演算である。ここから自然に、a + b = 0 となるような b を考えることに導かれる。この b は負の数であり、-a と表す。

◆ 算術演算

プログラミングにおいては、論理和、論理積などの論理演算と区別して、四則演算(剰余演算を含むこともある)を指す場合に算術演算と呼ばれる。また、シフト操作を行なうとき、符号ビットを維持してシフト操作を行なう場合、算術シフト と言う(符号ビットを無視する場合は論理シフト )。

◆ 関連項目

・ 数論

・ 素数

・ 合同式

・ 体 (数学)

・ 算法

・ 算術平均

・ 算術級数

・ ビット演算

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